Tới nội dung chính
Tính Ngay

Tính số phức

Nhập phần thực và phần ảo của hai số phức để cộng, trừ, nhân, chia, kèm môđun, liên hợp, argument và dạng lượng giác.

Kết quả

11,0000 − 2,0000i

Môđun 11,1803 · liên hợp 11,0000 + 2,0000i Dạng lượng giác: r ≈ 11,1803, φ ≈ -0,1799 rad

Công thức

z = a + bi · i² = −1 Nhân: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Chia: nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu Môđun |z| = √(a² + b²) · Liên hợp z̄ = a − bi Dạng lượng giác z = r(cos φ + i·sin φ) · Moivre zⁿ = rⁿ(cos nφ + i·sin nφ)

Ví dụ

(3 + 4i) × (1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i², thay i² = −1 được 11 − 2i. Phép chia nhân cả tử lẫn mẫu với liên hợp 1 + 2i: (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) = (−5 + 10i) ÷ 5 = -1 + 2i. Môđun |3 + 4i| = √(3² + 4²) = 5.

Công cụ liên quan

Giải phương trình bậc hai Nghiệm, biệt thức và đỉnh parabol Tính ma trận và định thức Định thức, ma trận nghịch đảo, chuyển vị, hạng, nhân cộng trừ Máy tính số học: tỉ số, phân số, căn bậc hai Tỉ số, phân số, hỗn số, căn bậc hai, luỹ thừa và tỉ lệ bản đồ

Câu hỏi thường gặp

Cách tính số phức cộng trừ nhân chia?

Cộng và trừ làm theo từng phần: phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo. Nhân thì khai triển rồi thay i² = −1, ra (ac − bd) + (ad + bc)i: (3+4i)(1−2i) = 11 − 2i. Chia thì nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu để mẫu thành số thực: (3+4i)/(1−2i) = -1 + 2i.

Môđun của số phức tính thế nào?

|z| = √(a² + b²), tức khoảng cách từ điểm biểu diễn z tới gốc toạ độ trên mặt phẳng phức. Số 3 + 4i có môđun 5 — đúng tam giác 3-4-5.

Số phức liên hợp là gì?

Liên hợp của z = a + bi là z̄ = a − bi, chỉ đổi dấu phần ảo. Tính chất quan trọng nhất: z × z̄ = |z|², một số thực — đó là lý do phép chia nhân cả tử lẫn mẫu với liên hợp của mẫu.

Argument của số phức tính bằng gì?

Argument là góc từ trục thực tới vectơ biểu diễn z. Phải dùng atan2(b, a) chứ KHÔNG dùng atan(b/a): atan không phân biệt được góc phần tư thứ hai với thứ tư, nên −1 + i và 1 − i sẽ ra cùng một góc dù chúng nằm ngược nhau. Argument của −1 + i là 2,3562 rad, còn của 1 − i là -0,7854 rad.

Dạng lượng giác của số phức viết thế nào?

z = r(cos φ + i·sin φ), với r là môđun và φ là argument. Dạng này tiện cho phép nhân và luỹ thừa: nhân hai số phức thì nhân môđun và cộng argument, còn luỹ thừa thì theo công thức Moivre zⁿ = rⁿ(cos nφ + i·sin nφ).

Số 0 có argument không?

Không. Số 0 không chỉ về hướng nào cả nên góc của nó không xác định, và cũng không viết được dạng lượng giác.

Khi nào phương trình bậc hai cho nghiệm phức?

Khi biệt thức Δ < 0. Lúc đó phương trình vô nghiệm thực nhưng có hai nghiệm phức liên hợp với nhau: x = (−b ± i√|Δ|) / 2a.